棋盘上的"不可能"——奇偶性一票否决

想整一下你身边最聪明的好朋友吗？递给他一个去掉对角两格的 $8\times8$ 棋盘（$62$ 格）和 $31$ 张多米诺骨牌（每张盖相邻两格），淡淡一句：“很简单，铺满它。“然后你准备着看戏：他会越铺越顺、又突然越铺越卡，眼看只剩两格却怎么都凑不拢……而你早知道他逃不出去。凭什么？

你凭的，是一招染色：给棋盘涂上黑白相间的颜色——横放竖放都一样，每张多米诺都恰好盖住一黑一白。于是不管铺到第几步，已盖的黑格数永远等于白格数——这个”黑白差”是个雷打不动的不变量，始终为 $0$。

可被挖掉的对角两格偏偏同色（要么都黑、要么都白）！剩下的是 $32$ 白配 $30$ 黑。要铺满就得凑出 $31$ 对”一黑一白”，可黑格只有 $30$ 个——配到最后，必然剩两个白格形单影只。所以无解，一种铺法都没有。

妙就妙在：你一种铺法都没试，却给所有铺法判了死刑。这就是奇偶性——最朴素的不变量，脸上只有黑/白、奇/偶两种表情——的杀伤力：它不去枚举无穷的可能，只盯住一个”动不了的量”，一票否决。前天”模 $4$“挡住平方差、昨天”模 $9$“抓出算错、今天”黑白二色”判了棋盘死刑——还是同一把钥匙。

☝️ 今日开放思考（可讨论）

要是挖掉的不是同色对角，而是相邻两格（必定一黑一白）呢？再大胆一点：从棋盘上任意去掉一个黑格、一个白格，剩下的 $62$ 格是不是总能铺满？先猜一个，再想办法说服自己。

🧩 今日难题

⭐ 挑战　把 $8\times8$ 棋盘左上角的相邻两格去掉（一黑一白），还能用 $31$ 张多米诺铺满吗？给出一种铺法，并说说它和正文那个”不可能”差在哪。

🌟 星标（初联）　改用 $1\times3$ 的直三格骨牌，去铺一个”去掉一格”的 $8\times8$ 棋盘（$63=21\times3$）。把棋盘沿斜线涂成 A、B、C 三色循环，证明：被去掉那一格的颜色是被唯一确定的——据此说出绝大多数格子其实都挖不得。

参考答案与解析（点击展开） ⭐ 挑战｜能。 挖掉左上相邻两格后，第一行还剩 $6$ 格，用 $3$ 张横骨牌铺平；第 $2\sim8$ 行各 $8$ 格、每行 $4$ 张横骨牌。共 $3+7\times4=31$ 张，正好铺满。 差别：这次挖的是一黑一白，黑白各剩 $31$ 个、依旧平衡，奇偶性这关过得去；正文挖的是同色两格，$32$ 比 $30$ 失衡，才被一票否决。

🌟 星标｜被挖格必满足 $(i+j)\equiv1\pmod 3$。 给格子 $(i,j)$（$i,j=0\sim7$）涂色 $(i+j)\bmod 3$，记 A、B、C。任何一张直三格（横或竖）盖住连续三格，颜色恰好 A、B、C 各一。数全盘：A、C 各 $21$ 格，B 有 $22$ 格。$21$ 张骨牌要正好用掉每色 $21$ 格，所以被挖掉的只能是多出来的 B 色那一格，即 $(i+j)\equiv1\pmod 3$。于是凡 $(i+j)\equiv0$ 或 $2$ 的格子统统挖不得——一口气排除了三分之二的位置。（想更精确，再用 $(i-j)\bmod 3$ 染一次即可。）

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下篇引线：我们用三天证了一堆”不可能”。明天换换口味，看一个”三秒算完 $1+2+\dots+100$“的可能——当配对带来秩序，对称登场。