周末挑战：两把钥匙一起用

这一周你领了两把钥匙：不变量，让你对一道题断言”你怎么试都白搭”；对称，让你对另一道题轻笑”其实一眼就算完”。钥匙好不好使，得拿锁来验——周末这两道，我故意把锁做得要两把一起拧。

先把手感找回来：

• 不变量——别去枚举无穷种可能，找一个在每步操作下都”动不了”的量（奇偶、余数、黑白差），让它替你一票否决、或一锤定音。
• 对称——别埋头硬算，找一个”配对”或”正反一叠”的角度，让长长的式子自己坍缩。

下面，热身题先用一把；大挑战要两把缠在一起。动笔吧。

☝️ 今日开放思考（可讨论）

下面那道黑板题里，我们把两个数换成它们的差。要是改成换成它们的和呢？换成乘积呢？哪一条”不变量”还活着、哪一条死了？——想透这个，你才算真正攥住了这把钥匙。

🧩 今日难题

⭐ 热身　求 $1-2+3-4+5-\dots+2025-2026$。

🌟 周末大挑战（可讨论）　黑板上写着 $1,2,3,\dots,2026$。每次擦掉其中两个数 $a,b$，改写上它们的差 $|a-b|$；如此重复，直到黑板上只剩一个数。这个数是奇还是偶？并说明：为什么不管你按什么顺序擦，结论都一样？

参考答案与解析（点击展开） ⭐ 热身｜$-1013$。 两两配对：$(1-2)+(3-4)+\dots+(2025-2026)$，每对都是 $-1$，共 $1013$ 对，答案 $-1013$。

🌟 大挑战｜必为奇数。 盯住所有数的总和的奇偶性。把 $a,b$ 换成 $|a-b|$ 时，总和的变化是 $a+b-|a-b|=2\min(a,b),$ 永远是偶数——所以总和的奇偶性是个不变量，从头到尾不变。初始总和（用对称配对秒算） $1+2+\dots+2026=\frac{2026\times2027}{2}=1013\times2027,$ 奇 $\times$ 奇为奇。既然奇偶性不变，最后剩的那个数也必为奇数。 注意：我们压根没关心你按什么顺序擦——不变量把所有擦法一网打尽。这正是本周两把钥匙合体：用对称秒算初始和，用不变量锁死结局。

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下周预告：暗线再拐个弯——从”有限”走向”无穷”。$0.999\dots$ 到底等不等于 $1$？先把你的答案攒在心里，周一见。