第四周·周一 | 万物起源：算术的“黑客帝国”与单向玻璃

【答案】

满足条件的有且仅有一个正整数：$n = 1$。

【解析】

面对带有四次幂的代数式，盲目地把 $n=1,2,3,\dots$ 代入只能碰运气，无法给竞赛做出严谨的结构交代。我们需要用因式分解来解剖它。

第一步：施展高阶配方魔术（苏菲·热尔曼恒等式）

式子 $n^4 + 4$ 只有两项，无法直接分解。但由于 $n^4 = (n^2)^2$ 且 $4 = 2^2$，这让我们强烈联想到完全平方公式。

为了拼凑出完全平方，我们主动在中间**“添加一个中间项 $4n^2$”**，为了保持平衡，后面再减去相同的项：

$A = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2$

将前三项捆绑因式分解：

$A = (n^2 + 2)^2 - 4n^2$

第二步：利用平方差公式完成降维碎裂

瞧！现在的式子完美蜕变成了两项平方相减的结构（其中 $4n^2 = (2n)^2$）。果断祭出平方差公式：

$A = [(n^2 + 2) + 2n][(n^2 + 2) - 2n]$

整理字母顺序，代数怪物轰然裂变：

$A = (n^2 + 2n + 2)(n^2 - 2n + 2)$

第三步：利用离散质数边界完成绝杀

现在，代数式 $A$ 被我们表达成了两个括号（整数）相乘的形式。

根据数论中质数的硬性结构定义：一个大于 1 的正整数如果想成为质数，其因数分解只能写成 $1 \times \text{自身}$ 的形式。也就是说，这两个括号中，较小的那个括号必须被死死锁死在 1 的位置上！

由于 $n$ 是正整数，显然第一个括号 $n^2 + 2n + 2 > 2$，它不可能是 1。

所以，唯有让第二个括号触碰禁令边界：

$n^2 - 2n + 2 = 1$

移项整理得：

$n^2 - 2n + 1 = 0 \implies (n - 1)^2 = 0$

直接锁定：

$n = 1$

第四步：回代检验

当 $n=1$ 时，代回原式 $A = 1^4 + 4 = 5$。5 确实是一个完美的质数。

🌟 小数学家点评： 看起来连续波动的四次项，在因式分解的结构手术刀下分裂成了两个轨道的约束。离散质数“必须含因数1”的铁律，直接一箭封喉锁定了唯一的整数解！

【答案】

满足条件的质数有 2 个：

1. 当质数 $p = 7$ 时，正整数解为 $\begin{cases} x = 5 \\ y = 2 \end{cases}$；

2. 当质数 $p = 17$ 时，正整数解为 $\begin{cases} x = 9 \\ y = 8 \end{cases}$。

【解析】

面对带有二次混合冲突的方程组，如果盲目用第一个方程去消元（如 $x = p - y$ 代入二次式），会诞生恐怖的参数 $p^2$，让战局彻底失控。我们要学会利用结构进行降维打击。

第一步：对第二个约束方程进行分组因式分解

观察第二个方程：$x^2 - y^2 - 2x + 2y = 15$

我们将前两项分为一组（平方差公式），后两项分为一组（提取公因式 $-2$）：

$(x^2 - y^2) - (2x - 2y) = 15$

$(x - y)(x + y) - 2(x - y) = 15$

提取核心骨架公因式 $(x - y)$，得到：

$(x - y)(x + y - 2) = 15 \quad \text{(1)}$

第二步：施展整体代换，激活质数枷锁

此时，我们将第一个方程 $x + y = p$ 这一块“拼图”，整体塞入 (1) 式的第二个括号中：

$(x - y)(p - 2) = 15 \quad \text{(2)}$

由于 $x$ 和 $y$ 被限定为正整数，且 $p$ 是一个质数。因此 $x - y$ 是一个整数，而 $p - 2$ 也是一个正整数（若 $p=2$，则 $p-2=0$，(2)式不成立）。

这意味着，$p - 2$ 必须是常数 15 的正因数！

第三步：分类讨论，利用奇偶性与边界合围

15 的正因数非常离散和单纯，只有：1, 3, 5, 15。我们让 $p - 2$ 逐一撞上这四座离散格子：

• 情况 A：若 $p - 2 = 1 \implies p = 3$（3是质数，保留）。 此时代回 (2) 式得 $x - y = 15$。联立第一个方程 $x + y = 3$。 两式相加得 $2x = 18 \implies x = 9$，从而 $y = 3 - 9 = -6$。由于 $y$ 必须是正整数，$-6$ 违背了生存边界，舍去！

• 情况 B：若 $p - 2 = 3 \implies p = 5$（5是质数，保留）。 此时代回 (2) 式得 $x - y = 5$。联立第一个方程 $x + y = 5$。 两式相加得 $2x = 10 \implies x = 5$，从而 $y = 5 - 5 = 0$。由于 $y$ 必须是正整数（0不是正数），再度舍去！

• **情况 C：**若 $p - 2 = 5 \implies p = 7$（7是质数，保留）。

  此时代回 (2) 式得 $x - y = 3$。联立第一个方程 $x + y = 7$。

  这是一个完美的对称方程组：两式相加得 $2x = 10 \implies x = 5$；两式相减得 $2y = 4 \implies y = 2$。

  验证：$x=5, y=2$ 均为正整数。大获全胜！

• **情况 D：**若 $p - 2 = 15 \implies p = 17$（17是质数，保留）。

  此时代回 (2) 式得 $x - y = 1$。联立第一个方程 $x + y = 17$。

  两式相加得 $2x = 18 \implies x = 9$；两式相减得 $2y = 16 \implies y = 8$。

  验证：$x=9, y=8$ 均为正整数。大获全胜！

🌟 小数学家点评： 这道题的绝妙之处在于，二次项的伪装在分组分解面前瞬间坍缩。而真正控制生死局面的，是我们在开局时打下的“正整数生存定义”与“质数离散约束”。连续的空间被硬生生挤压，最终只留下了 7 和 17 这两个孤立的灵魂！